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今天是冬至，北半球一年中白昼最短的日子。大早醒来看到这篇文章的你，或许还没有能看到太阳从窗外升起。

熟知天文学的读者可能了解，现代天文学是以春分作为一年的开始，两次春分之间的间隔就是一个回归年。

但在中国历法中，却将冬至作为一岁之始，一岁的长度（岁实）是两次冬至之间的间隔。在中国人的观念中，冬至的时候寒冷到达了极点，阴气重极而衰，阳气开始生发，因此是生命的起点，于是把冬至作为一个太阳年的起始，这是中国天文学的独特之处。

今天，大家有各种各样的电子日历提醒大家各种节气的到来，但在古时候，大家是如何断定冬至的到来呢？

立杆为影

在冬至附近的一段时间，历家（即研究、拟定历法的人）会用“圭（guī）表”测量正午影子的长度，以此确定冬至的确切时刻。立起来的杆称作“表”，表高为八尺（约1.8米），地面上测量影子长度的大尺子叫做“圭”（又叫量天尺），圭表朝哪个方向正北，每天正午的时候，太阳在正南，就能测得一天中最短的影子。有了冬至附近数日的正午影长数据，便能算出冬至的确切时刻了。

圭表测量示意图

（图片来源：《中国古时候天体测量学及天文仪器》图11-3）

冬至测影在中国有着很悠久的历史。在中国古时候天文学中，圭表测影最主要有哪些用途是推定冬至时刻，因此观测精度就尤为重要。

坐落于北京古观象台后院的圭表模型

（图片来源：北京古观象台官方网站）

而在古希腊天文学中，测影则主如果为了论证宇宙模型，因此古希腊人并无需过分追求精度。如此的思路也影响到中世纪，圭表测影技术在欧洲一直没得到非常不错的进步，这也使得欧洲在非常长一段时间里都将一年的长度定为365.25天。

在阿拉伯世界，对太阳的观测主要靠日晷而非圭表，缘由在于穆斯林天天需要做五次祷告，这就需要要有准确的时间。

事实上，假如从天文观测的角度来讲，太阳直射点在冬至附近移动缓慢，好几天内可能都很难察看到日影长度的变化，而在春分秋分点附近移动最快，比较容易就能察看到日影变化，使用春分来测量晷影、考算岁实是更好的选择。但不少事情并非单一原因可以决定的，中国人对天道的认知在此时胜过了出于天文观测的考量。

冬至的具体时刻怎么样计算？

在测得冬至附近几个正午影长的数据之后，应该如何计算冬至的具体时间呢？换句话说，如何通过计算得知一年中影长最长的时刻呢？

《宋书·律历志》留下了一段祖冲之计算冬至时刻的办法，翻译成现代语言，参照示意图，就是：

大明五年10月10日（公元461年11月27日）（A），测量得到影长a=10.7750尺（约2.5米）；

11月25日（公元462年1月11日）（B），影长b=10.8175尺；

11月26日（C），影长c=10.7508尺。

祖冲之假设影长以冬至为中心对称，影长的变化是一条直线（当然，实质状况是类似抛物线的曲线，且并不以冬至为中心对称）。

a和b、c非常接近，所以冬至日期在10月10日和11月二十5、26日的中点，该年10月有30天，所以10月10日到11月25日有45日，所以冬至在11月3日。那样具体时刻是什么呢？

祖冲之如此算：“令后2日影相减,则1日差率也。倍之为法，前2日减，以百刻乘之为实，以法除实，得冬至加时在夜半后三十一刻。”即(b-a)/[(b-c)*2]=(10.8175-10.7750)/[(10.8175-10.7508)*2]≈0.3186，也就是3日零点加上0.3186日，1日=100刻，得到冬至在11月3日31刻。

祖冲之测算冬至时刻法示意图

（图片来源：作者据《中国科技史（天文学卷）》图4-13重制）

祖冲之并没讲解为何要如此算，大家可以按下面如此理解。设A为10月10日正午，B为11月25日正午，C为11月26日正午，a、b、c分别为这3日的正午影长。则必可在B、C之间找到影长也等于a的F点。祖冲之假设影长以冬至点为中心对称，作均匀线性变化。则BC之间影长每天变化b-c尺，每刻变化(b-c)/100尺。所以BF=(b-a)/(b-c)日=(b-a)/(b-c)×100刻。

又设D为AB的中点（即AD=DB），则D为11月3日夜半。设E为AF中点，即E为冬至时刻，在11月3日的某一刻。

由图可见，DE+EF=DB+BF，已知AD=DB，AE=EF，则DE+AE=AD+BF，因此BF=DE+(AE-AD)=2DE，所以DE=1/2BF=(b-a)/[(b-c)×2]。

**这就是中国古时候推算冬至时刻的算法。**大家只须找出三个点A、B、C，其中A在冬至前，B、C是冬至后相邻的两天，且A的数值在B、C之间，那样冬至的日期就在AB中点的那天，具体时刻就是(B-A)/(B-C)/2。假如连续测量几年的冬至时刻，取平均值，就能算出一个回归年的长度。

分毫毕现

从祖冲之以来，冬至测影的算法至少就一直没变过，那样冬至时刻观测精度的提升是如何达成的呢？

靠的是观测仪器的改进。

测影的表自古以来都是八尺高，到了元代，郭守敬将表加高到四丈（1丈=10尺，合9.81米），在大都、上都、阳城等全国五处地方都设立了高表，可惜留存到今天的仅有坐落于阳城（今登封告成镇）的一处。阳城高表直接用砖石修造的观星台来代替铜表，如此做有哪些好处是节省成本，省时省工。

台顶架了一条横梁，横梁和下方的直壁留有一些空隙。圭则直接躺在地上，由水槽来保证水平。正午阳光穿过横梁，在圭上投下一道阴影，这就是影子的长度。影子相较以前的测量办法更长，因此测量就会愈加精准。

坐落于登封告成镇的郭守敬观星台

（图片来源：大河网）

有一个小事值得注意。新表的长度（四丈）是旧表的五倍（八尺）。为何设计成五倍，而不是四倍或者六倍呢？

在中国古时候，最小长度单位是毫，约等于目前的0.024毫米；那样五毫就等于0.12毫米（0.024*5=0.12mm）。

郭守敬期望“毫厘差异分别”，也就是影长要可以精准到一毫（0.024毫米），但肉眼可以辨别的最小长度大约是0.1毫米，在传统的八尺表下没办法达成如此的读数。若将圭表放大五倍，就能读取最小五毫（1.2毫米）的数据，折算成八尺表，就是一毫。这是郭守敬选择四丈高表是什么原因。

但还有一个问题是，当表的长度增加之后，影子就会变得模糊。大家在日常也能感受得到，太阳底下，我们的影子边缘好像非常柔和，一点也不分明。

为解决这个问题，郭守敬创造了“影符”，事实上就是一个倾斜着的有一个小孔的铜板。

将影符放在量天尺上影端虚影处,使得太阳、横梁、小孔呈一条直线，光线透过小孔，在量天尺上投一下个小光斑，横梁的阴影在光斑上显现出一道米粒大小的阴影，边角分明，微调影符地方，使得阴影正好处在光斑的中间，如此就能读到准确的数据。这正是借助的小孔成像原理。

复原铜制影符

（图片来源：肖尧《登封四丈高表与圭表测影》）

通过这两项改进，再加上连续数年的不懈观测，与古时候的观测记录，郭守敬测量出了自古以来最准确的回归年数值：365.2425日，与当时的精准数值365.2422日相比，误差只有26s。巧合的是，大家目前用的格里高利历一年的长度也是365.2425日。

贯通古今的理想

冬至测影在中国有着很悠久的历史。传闻冬至测影从三千年前的周公就开始了，但真的的起点应该更早，部落年代的大家可能就已经会测量日影了。而留存到今天最早的有明确数据的记载，是上文祖冲之的观测结果。

此后，历代历家测量了六组数据，得出六个靠谱的冬至时刻。在祖冲之测量冬至日的817年之后，郭守敬也接过了接力棒，进行了自古以来最准确的测量。

郭守敬在《授时历议》中说，将这六组数据，取相距日数，用相距年数来除，就能得到相应那段时间的回归年长度，用祖冲之测影（公元461年）到他一个人测影（公元1278年）的日数除以年数，得到每年长度为365.2425日。

他具体是如何算的呢？郭守敬也没给出讲解，大家可以自己来算算。

上文已知，祖冲之推算出的461年冬至是11月3日3186分，郭守敬测算出来的1278年冬至是11月29日未初中三年级刻，换算成万分制就是5750分，两次测影相隔298403日、817年。用日数除以年数，(298403.5750-0.3186)/817=365.242664，和郭守敬说的365.2425略有差距，这说明他应该还考虑了其他多方面原因。

数百年测量的价值还在于极小的误差。在计算回归年长度时，即便大家把具体时刻都去掉，只保留整数日，298403/817=354.242350，这比365.2425更符合当时的理论值。也就是说，在这么长的时间跨度中，大家只须了解冬至是在哪一天，就能算出很精密的回归年长度。这正是这项超长期观测的意义所在。

结语

古时候历家相信，天道流转恒常不变，历法的追求就是尽可能吻合天道。因此在拟定历法时，历家一方面自己测算当时的影长，一方面又要借助古时候的天象记录，把尽量多的数据纳入我们的历法之中，如此才能下可推今，上可考古。古时候天文记录不只有冬至时刻（用来测定一岁起始、测算回归年），还有中星记录（用来计算岁差）、日月食记录等等，这类记录都是在制作历法时需要考虑到的。不过，受限于天象记录的模糊性与历法技术本身的水平，还是有相当一部分古时候记录很难符合历法，在预测日食时也不时失败，历家虽然尽可能扩大“历数之常”的范围，但也对“天道之变”无可奈何。昭明而又难测的天道一直高悬在历家头顶，敬天法古的精神同样在历法中流淌着。

参考文献：

1.沈约《宋书·律历志下》，北京：中华书局，2018年

2.宋濂《元史·历志一》，北京：中华书局，1976年

3.肖尧《登封四丈高表与圭表测影》，《自然科学博物馆研究》2020年第4期

4.王玉民《冬至圭表测影新探》，《中国科技史杂志》2013年第4期

5.陈美东《中国科技史（天文学卷）》，北京：科学出版社，2003年，页269—270

6.吴守贤、全和钧主编《中国古时候天体测量学及天文仪器》，北京：中国科技出版社，2013年，页376

7.王雨桐《汉唐间的经学、历数与古史年代建构》，北京大学中国语言文学系博士论文，2023年

8.古时候是如何算出来一年 365 天的？-知乎：三种不一样的红色的回答

9.有什么需要几代人才能完成的科学实验？-知乎：尞祡的回答

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